如圖,四稜錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=,△ADP為等邊三角形.(Ⅰ)求*:AD⊥PB;(Ⅱ...
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問題詳情:
如圖,四稜錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=,△ADP為等邊三角形.
(Ⅰ)求*:AD⊥PB;
(Ⅱ)若AB=2,BP=,求點D到平面PBC的距離.
【回答】
【解析】(Ⅰ)取AD的中點O,連接PO,OB,*AD⊥平面PBO,從而得*.
(Ⅱ)∵AD//BC,∴PB⊥BC.
利用等體積變換,得VD-PBC=VP-DBC,從而求出D到平面PBC的距離.
(Ⅰ)取AD的中點O,連接OP,OB.
∵△ADP為等邊三角形,∴PO⊥AD,∵AB=AD,∠DAB=,
∴△ADB為等邊三角形,∴BO⊥AD.
又PO∩OB=O,∴AD⊥平面PBO.
又PB⊂平面PBO,∴AD⊥PB.(6分)
(Ⅱ)由條件知△ABD與△PAD都是邊長為2的等邊三角形,∴OB=OP=.
又PB=,則PB2=OB2+OP2,∴OP⊥OB.
又OB∩AD=O,∴PO⊥平面ABD,
∵VD-PBC=VP-DBC=S△BDC·OP=××2××=1,
又AD∥BC,∴PB⊥BC,∴S△PBC=××2=,
設點D到平面PBC的距離為h,由S△PBC·h=1,解得h=.(12分)
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題