如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE丄平面ABCD，DF丄平...

問題詳情：

如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．

（Ⅰ）*：平面AEC丄平面AFC

（Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的餘弦值．

【回答】

【分析】（Ⅰ）連接BD，設BD∩AC=G，連接EG、EF、FG，運用線面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；

（Ⅱ）以G為座標原點，分別以GB，GC為x軸，y軸，|GB|為單位長度，建立空間直角座標系G﹣xyz，求得A，E，F，C的座標，運用向量的數量積的定義，計算即可得到所求角的餘弦值．

【解答】解：（Ⅰ）連接BD，

設BD∩AC=G，

連接EG、EF、FG，

在菱形ABCD中，

不妨設BG=1，

由∠ABC=120°，

可得AG=GC=，

BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，

可知AE=EC，又AE⊥EC，

所以EG=，且EG⊥AC，

在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，

在直角三角形FDG中，可得FG=，

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF==，

從而EG2+FG2=EF2，則EG⊥FG，

（或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1，

可得∠EGB+∠FGD=90°，則EG⊥FG）

AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，

由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）如圖，以G為座標原點，分別以GB，GC為x軸，y軸，|GB|為單位長度，

建立空間直角座標系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），

F（﹣1，0，），C（0，，0），

即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），

故cos＜，＞===﹣．

則有直線AE與直線CF所成角的餘弦值為．

【點評】本題考查空間直線和平面的位置關係和空間角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和異面直線所成的角的求法：向量法，考查運算能力，屬於中檔題．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題