如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF於點F.(1)...
問題詳情:
如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF於點F.
(1)求*:AE=EF;
(2)如圖2,若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”,其餘條件不變,(1)中的結論是否仍然成立? ;(填“成立”或“不成立”);
(3)如圖3,若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”,其餘條件仍不變,那麼結論AE=EF是否成立呢?若成立請*,若不成立説明理由.
【回答】
(1)*見解析;(2)成立;(3)成立,*見解析.
【解析】
試題分析:(1)取AB中點M,連接EM,求出BM=BE,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(2)截取BE=BM,連接EM,求出AM=EC,得出∠BME=45°,求出∠AME=∠ECF=135°,求出∠MAE=∠FEC,根據ASA推出△AME和△ECF全等即可;
(3)在BA的延長線上取一點N,使AN=CE,連接NE,根據已知利用ASA判定△ANE≌△ECF,因為全等三角形的對應邊相等,所以AE=EF.
試題解析:(1)*:取AB中點M,連接EM,
∵AB=BC,E為BC中點,M為AB中點,
∴AM=CE=BE,
∴∠BME=∠BME=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(2)成立,
理由是:如圖,在AB上截取BM=BE,連接ME,
∵∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
∵AB=BC,BM=BE,
∴AM=EC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(3)成立.
*:如圖,在BA的延長線上取一點N.使AN=CE,連接NE,
∴BN=BE,
∴∠N=∠NEC=45°,
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCE=45°,
∴∠N=∠ECF,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,即∠DAE+90°=∠BEA+90°,
∴∠NAE=∠CEF,
∴△ANE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
點睛:本題考查了正方形的*質、全等三角形的判定與*質,閲讀材料,理清解題的關鍵是去AM=EC,然後構造出△AME和△ECF全等是解題的關鍵.
知識點:全等三角形
題型:解答題