已知橢圓C:()的離心率為,短軸長為4.(1)求橢圓方程;(2)過作弦且弦被P平分,求此弦所在的直線方程及弦長...
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問題詳情:
已知橢圓C:()的離心率為,短軸長為4.
(1)求橢圓方程;
(2)過作弦且弦被P平分,求此弦所在的直線方程及弦長.
【回答】
(1)(2)直線方程為,弦長為
【分析】
(1)由已知信息,待定係數即可求解橢圓方程;
(2)設出交點座標,由點差法,即可求得直線斜率,再求弦長.
【詳解】
(1)由橢圓的離心率可得:,
根據短軸長可得:,,
設,,,所以,
所以橢圓方程為.
(2)設以點為中點的弦與橢圓交於,,
則,則,
分別代入橢圓的方程得,,,兩式相減可得
,所以,
故以點為中點的弦所在直線方程為;
由,得,
所以,;,,
所以.
故該直線截橢圓所得弦長為.
【點睛】
本題考查橢圓方程的求解,以及橢圓中的中點弦問題,涉及弦長的求解,屬綜合中檔題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題