已知二次函數y=x2﹣(m+3)x+2m﹣1.(1)*:無論m取何值時,其圖象與x軸總有兩個交點;(2)當其...
問題詳情:
已知二次函數y=x2﹣(m+3)x+2m﹣1.
(1)*:無論m取何值時,其圖象與x軸總有兩個交點;
(2)當其圖象與y軸交於點A(0,5)時,求m的值;
(3)設由(2)確定的二次函數的圖象與x軸自左向右依次交於點B、C,頂點為D,直線y=kx.
①問是否存在k的值,使得直線y=kx既平分△AOD的面積,又平分它的周長?若存在,求出k的值;若不存在,請説明理由;
②設直線y=kx與AD相交於點P,問是否存在以O、P、A(或D)為頂點的三角形與△OAD相似?若存在,求出P點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【分析】(1)計算出△,可以*△大於0,即可説明圖象與x軸總有兩個交點;
(2)將點A(0,5)代入,即可求出m的值;
(3)①可以*△AOD是以O為頂點的等腰三角形,所以當直線y=kx經過線段AD的中點時即可;
②由①知△AOD是以O為頂點的等腰三角形,只要使OP=AP即可,進而求出P的值.
【解答】解:(1)△=(m+3)2﹣4(2m﹣1)
=m2﹣2m+13
=(m﹣1)2+12>0,
∴無論m取何值時,其圖象與x軸總有兩個交點;
(2)將點A(0,5)代入可得:2m﹣1=5,
解得:m=3;
(3)由(2)知m=3,
∴此拋物線的解析式為:y=x2﹣6x+5,
當y=0時,0=x2﹣6x+5,解得:x=1或x=5,
∴B(1,0),C(5,0),頂點D(3,﹣4),
設直線AD的解析式為y=ax+b,將點A(0,5)和點D(3,﹣4)代入可得:
,
解得:,
∴直線AD的解析式為:y=﹣3x+5;
①存在,k=.
如圖,過點D作DV⊥y軸,則:DV=3,OV=3,
∴OD==5,∴OD=OE,
過點O作OE⊥AD,則E為AD的中點,
過點E作EW⊥y軸,垂足為W,
∴WE∥DV,
∴△AWE∽△AVD,
∴=,即: =,
∴WE=,AW=,
∴OW=5﹣=,
∴點E(,),
把點E代入y=kx,得:
,
∴k=;
②存在點P(,),
設直線AD的解析式為y=kx+b,
將點A(0,5)和點D(3,﹣4)代入可得:
,
解得:,
∴直線AD的解析式為:y=﹣3x+5
∵△OAD是等腰三角形,∴當OP=AP時即可,
過點P作PM⊥y軸,垂足為M,則M為OA的中點,
∴OM=,
當y=時,,
解得:x=,
∴點P(,).
【點評】本題主要考查了拋物線與座標軸的交點問題,以及求一次函數的解析式以及二次函數的解析式的問題,還有二次函數與三角形相似結合的問題,綜合*很強,注意總結.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題