如圖,已知二次函數y=x2+(1﹣m)x﹣m(其中0<m<1)的圖象與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),...
問題詳情:
如圖,已知二次函數y=x2+(1﹣m)x﹣m(其中0<m<1)的圖象與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,對稱軸為直線l.設P為對稱軸l上的點,連接PA、PC,PA=PC
(1)∠ABC的度數為 ;
(2)求P點座標(用含m的代數式表示);
(3)在座標軸上是否存在着點Q(與原點O不重合),使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似,且線段PQ的長度最小?如果存在,求出所有滿足條件的點Q的座標;如果不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)令x=0,則y=﹣m,C點座標為:(0,﹣m)
令y=0,則x2+(1﹣m)x﹣m=0,
解得:x1=﹣1,x2=m,
∵0<m<1,點A在點B的左側,
∴B點座標為:(m,0),
∴OB=OC=m,
∵∠BOC=90°,
∴△BOC是等腰直角三角形,∠ABC=45°;
故*為:45°;
(2)如圖1,作PD⊥y軸,垂足為D,設l與x軸交於點E,
由題意得,拋物線的對稱軸為:x=,
設點P座標為:(,n),
∵PA=PC,
∴PA2=PC2,
即AE2+PE2=CD2+PD2,
∴(+1)2+n2=(n+m)2+()2,
解得:n=,
∴P點的座標為:(,);
(3)存在點Q滿足題意,
∵P點的座標為:(,),
∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2,
=(+1)2+()2+(+m)2+()2
=1+m2,
∵AC2=1+m2,
∴PA2+PC2=AC2,
∴∠APC=90°,
∴△PAC是等腰直角三角形,
∵以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似,
∴△QBC是等腰直角三角形,
∴由題意可得滿足條件的點Q的座標為:(﹣m,0)或(0,m),
①如圖1,當Q點座標為:(﹣m,0)時,
若PQ與x軸垂直,則=﹣m,
解得:m=,PQ=,
若PQ與x軸不垂直,
則PQ2=PE2+EQ2
=()2+(+m)2
=m2﹣2m+
=(m﹣)2+
∵0<m<1,
∴當m=時,PQ2取得最小值,PQ取得最小值,
∵<,
∴當m=,即Q點的座標為:(﹣,0)時,PQ的長度最小,
②如圖2,當Q點的座標為:(0,m)時,
若PQ與y軸垂直,則=m,
解得:m=,PQ=,
若PQ與y軸不垂直,
則PQ2=PD2+DQ2=()2+(m﹣)2
=m2﹣2m+
=(m﹣)2+,
∵0<m<1,
∴當m=時,PQ2取得最小值,PQ取得最小值,
∵<,
∴當m=,即Q點的座標為:(0,)時,PQ的長度最小,
綜上所述:當Q點座標為:(﹣,0)或(0,)時,PQ的長度最小.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題