已知:二次函數y=ax2﹣2x+c的圖象與x於A、B,A在點B的左側),與y軸交於點C,對稱軸是直線x=1,平...
問題詳情:
已知:二次函數y=ax2﹣2x+c的圖象與x於A、B,A在點B的左側),與y軸交於點C,對稱軸是直線x=1,平移一個單位後經過座標原點O
(1)求這個二次函數的解析式;
(2)直線交y軸於D點,E為拋物線頂點.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;
(3)在(2)問的前提下,P為拋物線對稱軸上一點,且滿足PA=PC,在y軸右側的拋物線上是否存在點M,使得△BDM的面積等於PA2?若存在,求出點M的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)由題意,A(﹣1,0),
∵對稱軸是直線x=1,
∴B(3,0);(1分)
把A(﹣1,0),B(3,0)分別代入y=ax2﹣2x+c
得;(2分)
解得.
∴這個二次函數的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵直線與y軸交於D(0,1),
∴OD=1,
由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4得E(1,﹣4);
連接CE,過E作EF⊥y軸於F(如圖1),則EF=1,
∴OC=OB=3,CF=1=EF,
∴∠OBC=∠OCB=∠45°,
BC==,
;
∴∠BCE=90°=∠BOD,,
,
∴,
∴△BOD∽△BCE,(6分)
∴∠CBE=∠DBO,
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.(7分)
(3)設P(1,n),
∵PA=PC,
∴PA2=PC2,即(1+1)2+(n﹣0)2=(1+0)2+(n+3)2
解得n=﹣1,
∴PA2=(1+1)2+(﹣1﹣0)2=5,
∴S△EDW=PA2=5;(8分)
法一:設存在符合條件的點M(m,m2﹣2m﹣3),則m>0,
①當M在直線BD上側時,連接OM(如圖1),
則S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5,
即,
,
整理,得3m2﹣5m﹣22=0,
解得m1=﹣2(捨去),,
把代入y=m2﹣2m﹣3得;
∴;(10分)
②當M在直線BD下側時,不妨叫M1,連接OM1(如圖1),
則S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5,
即,
,
整理,得3m2﹣5m﹣2=0,
解得,(捨去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,
∴M1(2,﹣3);
綜上所述,存在符合條件的點M,其座標為或(2,﹣3).(12分)
法二:設存在符合條件的點M(m,m2﹣2m﹣3),則m>0,
①當M在直線BD上側時,過M作MG∥y軸,
交DB於G;(如圖2)
設D、B到MG距離分別為h1,h2,則
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5,
即,
,
,
整理,得3m2﹣5m﹣22=0;
解得m1=﹣2(捨去),;
把代入y=m2﹣2m﹣3
得;
∴.(10分)
②當M在直線BD下側時,不妨叫M1,過M1作M1G1∥y軸,交DB於G1(如圖2)
設D、B到M1G1距離分別為h1、h2,則S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5,
即,
,
,
整理,得3m2﹣5m﹣2=0,
解得,(捨去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,
∴M1(2,﹣3);
綜上所述,存在符合條件的點M,其座標為或(2,﹣3).(12分)
法三:①當M在直線BD上側時,過M作MH∥BD,交y軸於H,連接BH;(如圖3)
則S△DHB=S△BDM=5,
即,,
∴DH=,
∴;
∴直線MH解析式為;
聯立
得或;
∵M在y軸右側,
∴M座標為.(10分)
②當M在直線BD下側時,不妨叫M1,過M1作M1H1∥BD,交y軸於H1,
連接BH1(如圖3),同理可得,
∴,
∴直線M1H1解析式為,
聯立
得或;
∵M1在y軸右側,
∴M1座標為(2,﹣3)
綜上所述,存在符合條件的點M,其座標為或(2,﹣3).(12分)
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題