已知：如圖一次函數y=x+1的圖象與x軸交於點A，與y軸交於點B；二次函數y=x2+bx+c的圖象與一次函數y...

問題詳情：

已知：如圖一次函數y=x+1的圖象與x軸交於點A，與y軸交於點B；二次函數y=x2+bx+c的圖象與一次函數y=x+1的圖象交於B、C兩點，與x軸交於D、E兩點且D點座標為（1，0）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求四邊形BDEC的面積S；

（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請説明理由．

【回答】

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據直線BC的解析式，可求得點B的座標，由於B、D都在拋物線的圖象上，那麼它們都滿足該拋物線的解析式，通過聯立方程組即可求得待定係數的值．

（2）根據拋物線的解析式，可求得E點的座標，聯立直線BC的解析式，可求得C點座標；那麼四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得．

（3）假設存在符合條件的P點，連接BP、CP，過C作CF⊥x軸於F，若∠BPC=90°，則△BPO∽△CPF，可設出點P的座標，分別表示出OP、PF的長，根據相似三角形所得比例線段即可求得點P的座標．

【解答】解：（1）將B（0，1），D（1，0）的座標代入y=x2+bx+c，

得：，

得解析式y=x2﹣x+1．

（2）設C（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），

則有

解得，

∴C（4，3）

由圖可知：S四邊形BDEC=S△ACE﹣S△ABD，又由對稱軸為x=可知E（2，0），

∴S=AE•y0﹣AD×OB=×4×3﹣×3×1=．

（3）設符合條件的點P存在，令P（a，0）：

當P為直角頂點時，如圖：過C作CF⊥x軸於F；

∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，

∴∠OBP=∠FPC，

∴Rt△BOP∽Rt△PFC，

∴，

即，

整理得a2﹣4a+3=0，

解得a=1或a=3；

∴所求的點P的座標為（1，0）或（3，0），

綜上所述：滿足條件的點P共有2個．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題