如圖1,已知二次函數y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交於點A(0,4),與x軸交於點B,C,點C座標為...
問題詳情:
如圖1,已知二次函數y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交於點A(0,4),與x軸交於點B,C,點C座標為(8,0),連接AB,AC.
(1)請直接寫出二次函數y=ax2+x+c的表達式;
(2)判斷△ABC的形狀,並説明理由;
(3)若點N在x軸上運動,當以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的座標;
(4)如圖2,若點N在線段BC上運動(不與點B,C重合),過點N作NM∥AC,交AB於點M,當△AMN面積最大時,求此時點N的座標.
圖1
圖2
【回答】
解:(1)y=-x2+x+4.
提示:∵二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交於點A(0,4),與x軸交於點B,C,點C座標為(8,0),
∴解得
∴拋物線的表達式為y=-x2+x+4.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
令y=0,則-x2+x+4=0,
解得x1=8,x2=-2,
∴點B的座標為(-2,0).
在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80.
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==4.
①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸於點N,此時N的座標為(-8,0);
②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸於點N,此時N的座標為(8-4,0)或(8+4,0);
③作AC的垂直平分線,交x軸於點N,此時N的座標為(3,0).
綜上所述,若點N在x軸上運動,當以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的座標分別為(-8,0),(8-4,0),(8+4,0),(3,0).
(4)設點N的座標為(n,0),則BN=n+2.
如圖,過點M作MD⊥x軸於點D,
∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO,
∴=.
∵MN∥AC,∴=,∴=.
∵OA=4,BC=10,BN=n+2,∴MD=(n+2).
∵S△AMN=S△ABN-S△BMN=BN·OA-BN·MD
=(n+2)×4-×(n+2)2
=-(n-3)2+5,
當n=3時,S△AMN最大,
∴當△AMN面積最大時,N點座標為(3,0).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題