已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸的正半軸交於點A，其頂點B在x軸的負半軸上，且OA=OB，對於下列...

問題詳情：

已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸的正半軸交於點A，其頂點B在x軸的負半軸上，且OA=OB，對於下列結論：①a﹣b+c≥0；②2ac﹣b=0；③關於x的方程ax2+bx+c+3=0無實數根；④的最小值為3．其中正確結論的個數為（　　）

A．1個 B．2個  C．3個 D．4個

【回答】

D【解答】解：二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸的正半軸交於點A，其頂點B在x軸的負半軸上，

∴圖象開口向上，當x=﹣1時，y≥0，即a﹣b+c≥0，故①正確；

∵OA=OB，

∴=c，

∴2ac﹣b=0，故②正確；

∵拋物線y=ax2+bx+c≥0，

∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=﹣3無交點，

∴方程ax2+bx+c+3=0無實數根，故③正確；

可知a＜0，

與y軸的交點在x軸的下方，可知c＜0，

又對稱軸方程為x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正確；

由圖象可知當x=3時，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②錯誤；

由圖象可知OA＜1，

∵OA=OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正確；

假設方程的一個根為x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，

整理可得ac﹣b+1=0，

兩邊同時乘c可得ac2﹣bc+c=0，

即方程有一個根為x=﹣c，

由②可知﹣c=OA，而當x=OA是方程的根，

∴x=﹣c是方程的根，即假設成立，故④正確；

綜上可知正確的結論有4個，

故選：D．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：選擇題