已知二次函數：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．（1）求*：二次函數的圖象與x軸有兩個交點；（2）當二...

問題詳情：

已知二次函數：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．

（1）求*：二次函數的圖象與x軸有兩個交點；

（2）當二次函數的圖象與x軸的兩個交點的橫座標均為整數，且a為負整數時，求a的值及二次函數的解析式並畫出二次函數的圖象（不用列表，只要求用其與x軸的兩個交點A，B（A在B的左側），與y軸的交點C及其頂點D這四點畫出二次函數的大致圖象，同時標出A，B，C，D的位置）；

（3）在（2）的條件下，二次函數的圖象上是否存在一點P使∠PCA＝75°？如果存在，求出點P的座標；如果不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，

∴拋物線與x軸的交點為（﹣2，0）、（﹣，0），

則二次函數的圖象與x軸有兩個交點；

（2）∵兩個交點的橫座標均為整數，且a為負整數，

∴a＝﹣1，

則拋物線與x軸的交點A的座標為（﹣2，0）、B的座標為（1，0），

∴拋物線解析式為y＝（x+2）（﹣x+1）

＝﹣x2﹣x+2

＝﹣（x+）2+，

當x＝0時，y＝2，即C（0，2），

函數圖象如圖1所示：

（3）存在這樣的點P，

∵OA＝OC＝2，

∴∠ACO＝45°，

如圖2，當點P在直線AC上方時，記直線PC與x軸的交點為E，

∵∠PCA＝75°，

∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°，

則∠OEC＝30°，

∴OE＝＝＝2，

則E（2，0），

求得直線CE解析式為y＝﹣x+2，

聯立，

解得或，

∴P（，）；

如圖3，當點P在直線AC下方時，記直線PC與x軸的交點為F，

∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°，

∴∠OCF＝30°，

則OF＝OCtan∠OCF＝2×＝，

∴F（，0），

求得直線PC解析式為y＝﹣x+2，

聯立，

解得：或，

∴P（﹣1，﹣1），

綜上，點P的座標為（，）或（﹣1，﹣1）．

知識點：各地中考

題型：綜合題