如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，...

問題詳情：

如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒後，求△ABP的面積．

（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？[來源:學科網ZXXK]

（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

【回答】

（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴由勾股定理得AC=8cm，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm

∴出發2秒後，則CP=2cm，那麼AP=6cm．

∴

（2）若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，

此時用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；

若P在AB邊上時，有三種情況：

①若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為12cm，

所以用的時間為12s，故t=12s時△BCP為等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為4.8cm，

根據勾股定理求得BP=7.2cm，所以P運動的路程為18-7.2=10.8cm，

∴t的時間為10.8s，△BCP為等腰三角形；

③若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，

∴∠ACP=∠CAP，

∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程為13cm，所以時間為13s時，△BCP為等腰三角形．

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 時△BCP為等腰三角形；

（3）當P點在AC上，Q在AB上，則AP=8-t，AQ=16-2t，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴8-t+16-2t=12，

∴t=4；

當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，

∴t-8+2t-16=12，

∴t=12，

∴當t為4或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．

知識點：勾股定理

題型：綜合題