在中，垂直平分，分別交、於點、，垂直平分，分別交，於點、．⑴如圖①，若，求的度數；⑵如圖②，若，求的度數；⑶若...
問題詳情：
在
中，
垂直平分
，分別交
、
於點
、
，
垂直平分
，分別交
，
於點
、
．
⑴如圖①，若
，求
的度數；
⑵如圖②，若
，求
的度數；
⑶若
，直接寫出用
表示
大小的代數式．
【回答】
（1）∠EAN=44°；（2）∠EAN=16°；（3）當0<α＜90°時，∠EAN=180°-2α；當α＞90°時，∠EAN=2α-180°．
【分析】
(1)根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然後利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C，再根據∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入數據進行計算即可得解；
(2)同(1)的思路，最後根據∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入數據進行計算即可得解；
(3)根據前兩問的求解，分α＜90°與α＞90°兩種情況解答．
【詳解】
(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°；
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；
(3)當0<α＜90°時，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α；
當α＞90°時，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°．
【點睛】
本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的*質，等邊對等角的*質，三角形的內角和定理，整體思想的利用是解題的關鍵．
知識點：課題學習 最短路徑問題
題型：解答題
