如圖，已知拋物線：的頂點為，與軸相交於兩點（點在點的左邊），點的橫座標是．（1）求點座標及的值；（2）如圖1，...
問題詳情：
如圖，已知拋物線
：
的頂點為
，與
軸相交於
兩點（點
在點
的左邊），點
的橫座標是
．
（1）求
點座標及
的值；
（2）如圖1，拋物線
與拋物線關於
軸對稱，將拋物線向左平移，平移後的拋物線記為
，
的頂點為
，當點
關於點成中心對稱時，求
的解析式
；
（3）如圖2，點
是
軸負半軸上一動點，將拋物線繞點旋轉
後得到拋物線
．拋物線
的頂點為
，與x軸相交於E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點
的座標．
【回答】
解：（1）由拋物線C1：
得頂點P的座標為（2，5）………….1分
∵點A（－1，0）在拋物線C1上∴
.………………2分
（2）連接PM，作PH⊥x軸於H，作MG⊥x軸於G..
∵點P、M關於點A成中心對稱,
∴PM過點A，且PA＝MA..
∴△PAH≌△MAG..
∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.
∴頂點M的座標為（
，5）.………………………3分
∵拋物線C2與C1關於x軸對稱，拋物線C3由C2平移得到
∴拋物線C3的表達式
. …………4分
（3）∵拋物線C4由C1繞x軸上的點Q旋轉180°得到
∴頂點N、P關於點Q成中心對稱.
由（2）得點N的縱座標為5.
設點N座標為（m，5），作PH⊥x軸於H，作NG⊥x軸於G，作PR⊥NG於R.
∵旋轉中心Q在x軸上,
∴EF＝AB＝2AH＝6.
∴EG＝3，點E座標為（
，0），H座標為（2，0），
R座標為（m，－5）.
根據勾股定理，得
①當∠PNE＝90º時，PN2+ NE2＝PE2，
解得m＝
，∴N點座標為（
，5）
②當∠PEN＝90º時，PE2+ NE2＝PN2，
解得m＝
，∴N點座標為（
，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º ………7分
綜上所得，當N點座標為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分
知識點：各地中考
題型：綜合題
