如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點A(3,0),B(﹣ 1,0),C(0,...
問題詳情:
如圖,已知拋物線 y=ax2+bx+c(a≠0)經過點 A(3,0),B(﹣
1,0),C(0,﹣3).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若以點 A 為圓心的圓與直線 BC 相切於點 M,求切點 M 的座標;
(3)若點 Q 在 x 軸上,點 P 在拋物線上,是否存在以點 B,C,Q,P 為頂點的 四邊形是平行四邊形?若存在,求點 P 的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)把 A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣3)代入拋物線解析式得:
,
解得:, 則該拋物線解析式為 y=x2﹣2x﹣3;
(2)設直線 BC 解析式為 y=kx﹣3,
把 B(﹣1,0)代入得:﹣k﹣3=0,即 k=﹣3,
∴直線 BC 解析式為 y=﹣3x﹣3,
∴直線 AM 解析式為 y=x+m
把 A(3,0)代入得:1+m=0,即 m=﹣1,
∴直線 AM 解析式為 y=x﹣1, 聯立得: ,
解得: ,
則 M
(3)存在以點 B,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形, 分兩種情況考慮:
設 Q(x,0),P(m,m2﹣2m﹣3),
當四邊形 BCQP 為平行四邊形時,由 B(﹣1,0),C(0,﹣3), 根據平移規律得:﹣1+x=0+m,0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3,
解得:m=1±,x=2±,
當 m=1+時,m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3,即 P(1+,2);
當 m=1﹣時,m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3,即 P(1﹣,2); 當四邊形 BCPQ 為平行四邊形時,由 B(﹣1,0),C(0,﹣3), 根據平移規律得:﹣1+m=0+x,0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0,
解得:m=0 或 2,
當 m=0 時,P(0,﹣3)(捨去);當 m=2 時,P(2,﹣3),
綜上,存在以點 B,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形,P 的座標為(1+,
2)或(1﹣,2)或(2,﹣3).
知識點:各地中考
題型:解答題