如圖,在平面直角座標系中,以A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交於B、C,與y軸的負半軸相交於D.(1...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,以A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交於B、C,與y軸的負半軸相交於D.
(1)若拋物線y=ax2+bx+c經過B、C、D三點,求此拋物線的解析式,並寫出拋物線與圓A的另一個交點E的座標;
(2)若動直線MN(MN∥x軸)從點D開始,以每秒1個長度單位的速度沿y軸的正方向移動,且與線段CD、y軸分別交於M、N兩點,動點P同時從點C出發,在線段OC上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動,連接PM,設運動時間為t秒,當t為何值時,的值最大,並求出最大值;
(3)在(2)的條件下,若以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似,求實數t的值.
【回答】
(1)y=x2-x-4,E(6,-4);(2)當t=2時取最大值2;(3)當t=2或t=時,以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似.
【解析】
試題分析:(1)根據點A的座標和圓的半徑可求出點B,點C,和點D的座標,然後把拋物線的解析式設成兩根式,把三點的座標代入即可求出a的值,把a的值代入解析式化為一般式即可;由拋物線的對稱*可知點D和點E關於拋物線的對稱軸對稱.利用-求出對稱軸,利用對稱軸和點D的座標即可得出點E的座標.
(2)根據路程等於速度乘以時間可得出DN=t,OP=8-2t,然後根據MN∥OC得出比例表示出MN,然後把表示出的MN和OP代入到得到一個關於t的二次函數,當t=-=2時,代入求出此時的最大值.
(3)把相似作為已知的條件來做,角PCM為公共角,所以分兩種情況討論:第一種△PCM∽△OCD,由相似的比例即可求出他的值;第二種情況△MCP∽△OCD,也有相似得比例,根據比例求出他的值.
試題解析:(1)由A(3,0)可知OA=3,又圓的半徑為5得OB=2,OC=8,
所以B(-2,0)C(8,0),易得D(0,-4),
設y=a(x+2)(x-8),
從而-4=a(0+2)(0-8),
解得a=,
所以y=(x+2)(x-8),
即y=x2-x-4,
又-=3,點D和點E關於直線x=3對稱,
所以E(6,-4);
(2)N(0,t-4),因為MN∥OC,
所以,即MN=2t,
又OP=8-2t,所以
所以當t=2時取最大值2;
(3)若△PCM∽△OCD,
則,即,
解得t=2;
若△MCP∽△OCD,則,
即,
解得t=
即當t=2或t=時,以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似.
考點:二次函數綜合題.
知識點:相似三角形
題型:解答題