感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,可知△ABP...
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問題詳情:
感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,可知△ABP∽△PCD.(不要求*)
探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,求*:△ABP∽△PCD.
拓展:如圖③,在△ABC中,點P是邊BC的中點,點D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,則DE的長為 .
【回答】
【解答】解:感知:∵∠APD=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∵∠B=90°,
∴∠APB+∠BAP=90°,
∴∠BAP=∠DPC,
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C=∠B=90°,
∴△ABP∽△PCD.
探究:∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠CPD,
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD.
∵∠B=∠APD,
∴∠BAP=∠CPD.
∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
拓展:同探究的方法得出,△BDP∽△CPE,
∴,
∵點P是邊BC的中點,
∴BP=CP=3,
∵CE=4,
∴,
∴BD=,
∵∠B=∠C=45°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°,
即AC⊥AB且AC=AB=6,
∴AD=AB﹣BD=6﹣=,AE=AC﹣CE=6﹣4=2,
在Rt△ADE中,DE===.
故*是:.
【點評】此題是相似綜合題.主要考查了相似三角形的判定與*質、勾股定理、三角形內角和定理以及三角形外角定理.解本題的關鍵是△ABP∽△PCD.
知識點:相似三角形
題型:解答題