如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當點E從點...

問題詳情：

如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當點E從點A出發沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發沿*線BC方向滑動．當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為　   　cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為　   　cm2．

【回答】

（24﹣12）　　（24+36﹣12）　cm2．

【分析】過點D'作D'N⊥AC於點N，作D'M⊥BC於點M，由直角三角形的*質可得BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm，由“AAS”可*△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即點D'在*線CD上移動，且當E'D'⊥AC時，DD'值最大，則可求點D運動的路徑長，由三角形面積公式可求S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N，則E'D'⊥AC時，S△AD'B有最大值．

【解答】解：∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°

∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm

如圖，當點E沿AC方向下滑時，得△E'D'F'，過點D'作D'N⊥AC於點N，作D'M⊥BC於點M

∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°

∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'

∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）

∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM

∴CD'平分∠ACM

即點E沿AC方向下滑時，點D'在*線CD上移動，

∴當E'D'⊥AC時，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm

∴當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm

如圖，連接BD'，AD'，

∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C

∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N

當E'D'⊥AC時，S△AD'B有最大值，

∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．

故*為：（24﹣12），（24+36﹣12）

【點評】本題考查了軌跡，全等三角形的判定和*質，等腰直角三角形的*質，角平分線的*質，三角形面積公式等知識，確定點D的運動軌跡是本題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：填空題