在一次數學研究*學習中,小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起,使點A與點F重合,點C與點D重合...
問題詳情:
在一次數學研究*學習中,小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起,使點A與點F重合,點C與點D重合(如圖1),其中∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,並進行如下研究活動.
活動一:將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移,連結AE,BD(如圖2),當點F與點C重合時停止平移.
【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎?請説明理由.
【發現】當紙片DEF平移到某一位置時,小兵發現四邊形ABDE為矩形(如圖3).求AF的長.
活動二:在圖3中,取AD的中點O,再將紙片DEF繞點O順時針方向旋轉α度(0≤α≤90),連結OB,OE(如圖4).
【探究】當EF平分∠AEO時,探究OF與BD的數量關係,並説明理由.
【回答】
【分析】【思考】
由全等三角形的*質得出AB=DE,∠BAC=∠EDF,則AB∥DE,可得出結論;
【發現】
連接BE交AD於點O,設AF=x(cm),則OA=OE=(x+4),得出OF=OA﹣AF=2﹣x,由勾股定理可得,解方程求出x,則AF可求出;
【探究】
如圖2,延長OF交AE於點H,*△EFO≌△EFH(ASA),得出EO=EH,FO=FH,則∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB,可*得△EOH≌△OBD(AAS),得出BD=OH,則結論得*.
解:【思考】四邊形ABDE是平行四邊形.
*:如圖,∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE,∠BAC=∠EDF,
∴AB∥DE,
∴四邊形ABDE是平行四邊形;
【發現】如圖1,連接BE交AD於點O,
∵四邊形ABDE為矩形,
∴OA=OD=OB=OE,
設AF=x(cm),則OA=OE=(x+4),
∴OF=OA﹣AF=2﹣x,
在Rt△OFE中,∵OF2+EF2=OE2,
∴,
解得:x=,
∴AF=cm.
【探究】BD=2OF,
*:如圖2,延長OF交AE於點H,
∵四邊形ABDE為矩形,
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED,OA=OB=OE=OD,
∴∠OBD=∠ODB,∠OAE=∠OEA,
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB=360°,
∴∠ABD+∠BAE=180°,
∴AE∥BD,
∴∠OHE=∠ODB,
∵EF平分∠OEH,
∴∠OEF=∠HEF,
∵∠EFO=∠EFH=90°,EF=EF,
∴△EFO≌△EFH(ASA),
∴EO=EH,FO=FH,
∴∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB,
∴△EOH≌△OBD(AAS),
∴BD=OH=2OF.
知識點:各地中考
題型:綜合題