我們知道，經過原點的拋物線可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，對於這樣的拋物線：(1)當拋物線經過點(－2，...

問題詳情：

我們知道，經過原點的拋物線可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，對於這樣的拋物線：

(1)當拋物線經過點(－2，0)和(－1，3)時，求拋物線的表達式；

(2)當拋物線的頂點在直線y＝－2x上時，求b的值；

(3)如圖2－Y－9，現有一組這樣的拋物線，它們的頂點A1，A2，…，An在直線y＝－2x上，橫座標依次為－1，－2，－3，…，－n(n為正整數，且n≤12)，分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn，如果這組拋物線中的某一條經過點Dn，求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．

圖2－Y－9

【回答】

．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx經過點(－2，0)和(－1，3)，

∴

∴拋物線的表達式為y＝－3x2－6x.

(2)∵拋物線y＝ax2＋bx的頂點座標是

(－，－)，

且該點在直線y＝－2x上，

∴－＝－2×(－)．

∵a≠0，∴－b2＝4b，

解得b1＝－4，b2＝0.

(3)這組拋物線的頂點A1，A2，…，An在直線y＝－2x上，

由(2)可知，b＝－4或b＝0.

①當b＝0時，拋物線的頂點在座標原點，不合題意，捨去；

②當b＝－4時，拋物線的表達式為y＝ax2－4x.

由題意可知，第n條拋物線的頂點為An(－n，2n)，則Dn(－3n，2n)．

∵以An為頂點的拋物線不可能經過點Dn，設第(n＋k)(k為正整數)條拋物線經過點Dn，此時第(n＋k)條拋物線的頂點座標是An＋k(－n－k，2n＋2k)，

∴－＝－n－k，

∴第(n＋k)條拋物線的表達式為y＝－x2－4x.

∵Dn(－3n，2n)在第(n＋k)條拋物線上，

∴2n＝－×(－3n)2－4×(－3n)，解得k＝n.

∵n，k為正整數，且n≤12，

∴n1＝5，n2＝10.

當n＝5時，k＝4，n＋k＝9；

當n＝10時，k＝8，n＋k＝18＞12(捨去)，

∴D5(－15，10)，

∴正方形的邊長是10.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題