如圖，拋物線y＝ax2＋bx過A(4，0)，B(1，3)兩點，點C、B關於拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH...

來源：國語幫 1.33W

問題詳情：

如圖，拋物線y＝ax2＋bx過A(4，0)，B(1，3)兩點，點C、B關於拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸於點H.

(1)求拋物線的表達式，並求出△ABC的面積；

(2)點P是拋物線上一動點，且位於第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的座標；

(3)若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．

【回答】

解：(1)把點A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax2＋bx，得，解得；∴該拋物線的表達式為y＝－x2＋4x；∴對稱軸為x＝2，∴點C的座標為(3，3)，又∵點B的座標為(1，3)，∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3；(2)如圖①，過P點作PD⊥BH交BH於點D，設點P(m，－m2＋4m)，根據題意，得BH＝AH＝3，HD＝m2－4m，PD＝m－1，∴S△ABP＝S△ABH＋S四邊形HAPD－S△BPD，即6＝×3×3＋(3＋m－1)(m2－4m)－(m－1)(3＋m2－4m)，∴3m2－15m＝0，m1＝0(捨去)，m2＝5，∴點P座標為(5，－5)；

(3)以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖②，CM＝MN，∠CMN＝90°，

則△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得：MC＝＝，∴S△CMN＝××＝；②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖③，作輔助線，構建如圖③的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，MD＝ME＝2，由勾股定理得：CM＝＝，∴S△CMN＝××＝；③以點N為直角頂點且N在y軸左側時，如圖④，CN＝MN，∠MNC＝90°，作輔助線，同理得：CN＝＝，∴S△CMN＝××＝17；④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，作輔助線，如圖⑤，同理得：CN＝＝＝，此時點N與點A重合，∴S△CMN＝××＝5；⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；綜上所述：△CMN的面積為：或或17或5