如圖,的外接圓的半徑為,所在的平面,,,,且,.(1)求*:平面平面.(2)試問線段上是否存在點,使得直線與...
問題詳情:
如圖,的外接圓的半徑為,所在的平面,,,,且,.
(1)求*:平面平面.
(2)試問線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,確定點的位置,若不存在,請説明理由.
【回答】
【*】(1)*詳見解析;(2)存在,且.
【解析】
試題分析:(1)由已知中CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD,易得BE⊥平面ABC,則BE⊥AB,由BE=1,,易得AB是⊙O的直徑,則AC⊥BC由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE;(2)方法一:過點M作MN⊥CD於N,連接AN,作MF⊥CB於F,連接AF,可得∠MAN為MA與平面ACD所成的角,設MN=x,則由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為,我們可以構造關於x的方程,解方程即可求出x值,進而得到點M的位置.方法二:建立如圖所示空間直角座標系C-xyz,求出平面ABC的法向量和直線AM的方向向量(含參數λ),由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為,根據向量夾角公式,我們可以構造關於λ的方程,解方程即可得到λ值,進而得到點M的位置.
試題解析:(1)∵CD ⊥平面ABC,BE//CD
∴ BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB
∵BE=1, ∴ ,
從而
∵⊙的半徑為,∴AB是直徑,
∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD
平面BCDE,∴平面ADC平面BCDE
(2)方法1:
假設點M存在,過點M作MN⊥CD於N,連結AN,作MF⊥CB於F,連結AF
∵平面ADC平面BCDE,
∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN為MA與平面ACD所成的角
設MN=x,計算易得,DN=,MF=
故
解得:(捨去) ,11分
故,從而滿足條件的點存在,且
方法2:建立如圖所示空間直角座標系C—xyz,
則:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),O(0,0,0),則
易知平面ABC的法向量為,假設M點存在,設,則,再設,
即,從而…10分
設直線BM與平面ABD所成的角為,則:
解得,其中應捨去,而故滿足條件的點M存在,且點M的座標為
考點:1、面面垂直的判定;2、直線和平面所成的角.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題