已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一動點，當的面積最大時，其內切圓半徑為，設過點的直線被橢圓截得的線段,當軸時...
來源：國語幫 3.07W
問題詳情：
已知橢圓
的左、右焦點分別為
為橢圓上一動點，當
的面積最大時，其內切圓半徑為
，設過點
的直線
被橢圓
截得的線段
,
當
軸時，
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若點
為橢圓
的左頂點，
是橢圓上異於左、右頂點的兩點，設直線
的斜率分別為
，若
，試問直線
是否過定點？若過定點，求該定點的座標；若不過定點，請説明理由.
【回答】
解：（1）由題意及三角形內切圓的*質可得
，得
①......2分
將
代入
，結合
②，得
，...................4分
所以
③，由①②③得
....................5分
故橢圓
的標準方程為
....................6分
（2）設點
的座標分別為
，
.
①當直線
的斜率不存在時，由題意得
或
，
直線
的方程為
....................7分
②當直線
的斜率存在時，設直線
的方程為
，
聯立得
，消去
得
，
由
，得
...................（8分）
由
可得
，
得
，
整理得
由（1）和（2）得
，解得
或
...................（10分）
當
時，直線
的方程為
，過定點
，不合題意；.........（11分）
當
時，直線
的方程為
，過定點
，
綜上直線
過定點，定點座標為
....................（12分）
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
