已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切於點C,與AC相交...
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問題詳情：
已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切於點C,與AC相交於點D.
(Ⅰ)如圖①,若⊙O與AB相切於點E,求⊙O的半徑;
(Ⅱ)如圖②,若⊙O在AB邊上截得的弦FG=
,求⊙O的半徑.
【回答】
解:(Ⅰ)如解圖①,連接OE,∵⊙O與AB相切於點E,
∴OE⊥AB,
設OE=x,則CO=x,AO=4－x,
∵⊙O與AB相切於點E,
∴∠AEO=90°,
∵∠A=∠A,∠AEO=∠ACB=90°,
∴Rt△AOE∽Rt△ABC,
∴
,∴
,解得:x=
,
∴⊙O的半徑為
.
(Ⅱ)如解圖②,過點O作OH⊥AB,垂足為點H,則H為FG的中點,FH=
FG=
,
連接OF,設OF=x,則OA=4－x,
由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=
,
在Rt△OHF中,據勾股定理得:OF2=FH2＋OH2,
∴x2=(
)2＋(
)2,解得x1=
,x2=－
(捨去),
∴⊙O的半徑為
.
圖① 圖②
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：綜合題
