一小船渡河，河寬d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.(1)若船在靜水中的速度為v2＝5m/s，欲使船在最...

問題詳情：

一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.

(1)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什麼方向？用多長時間？位移是多少？

(2)若船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什麼方向？用多長時間？位移是多少？

(3)若船在靜水中的速度為v2＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什麼方向？用多長時間？位移是多少？

【回答】

(1)船頭垂直於河岸　36 s；90m 

(2)船頭與上游河岸成60°角；24s；180 m

(3)船頭與上游河岸成53°角；150 s；300 m

【詳解】

將船實際的速度(合速度)分解為垂直於河岸方向和平行於河岸方向的兩個分速度，垂直於河岸的分速度影響渡河的時間，而平行於河岸的分速度隻影響船在平行於河岸方向的位移.

(1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短時間內渡河，船頭應垂直於河岸方向，如圖*所示，合速度為傾斜方向，垂直於河岸的分速度為v2＝5 m/s.

v合＝

x＝v合t＝90m.

(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，合速度應沿垂直於河岸方向，船頭應朝圖乙中的v2方向.垂直於河岸過河則要求v∥＝0，有v2sin θ＝v1，得θ＝30°.所以當船頭與上游河岸成60°角時航程最短.

x＝d＝180 m

(3)若v2＝1.5 m/s，與(2)中不同，因為船速小於水速，所以船一定向下游漂移，設合速度方向與河岸下游方向夾角為α，則航程x＝ .欲使航程最短，需α最大，如圖*所示，由出發點A作出v1向量，以v1向量末端為圓心，v2大小為半徑作圓，A點與圓周上某點的連線為合速度方向，欲使v合與河岸下游方向的夾角最大，應使v合與圓相切，即v合⊥v2.

由sin α＝，得α＝37°

所以船頭應朝與上游河岸成53°角方向.

v合＝v1cos α＝2 m/s

x＝v合t＝300 m.

【點睛】

解決本題的關鍵知道合運動與分運動具有等時*，當靜水速與河岸垂直，渡河時間最短；當合速度與河岸垂直，渡河航程最短．小船過河問題屬於運動的合成問題，要明確分運動的等時*、**，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，使用平行四邊形法則求合速度．

知識點：運動的合成與分解

題型：解答題