已知F是拋物線y2=4x的焦點，點A，B在該拋物線上且位於x軸的兩側，OA⊥OB（其中O為座標原點），則△AO...

問題詳情：

已知F是拋物線y2=4x的焦點，點A，B在該拋物線上且位於x軸的兩側，OA⊥OB（其中O為座標原點），則△AOB與△AOF面積之和的最小值是（　　）

A．16   B．8 C．8 D．18

【回答】

C【考點】拋物線的簡單*質．

【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、*質與方程．

【分析】先設直線方程和點的座標，聯立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及•=0，消元，最後將面積之和表示出來，探求最值問題．

【解答】解：設直線AB的方程為：x=ty+m，

點A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB與x軸的交點為M（m，0），

x=ty+m代入y2=4x，可得y2﹣4ty﹣4m=0，

根據韋達定理有y1•y2=﹣4m，

∵OA⊥OB，

∴•=0，

∴x1•x2+y1•y2=0，從而（y1•y2）2+y1•y2=0，

∵點A，B位於x軸的兩側，

∴y1•y2=﹣16，故m=4．

不妨令點A在x軸上方，則y1＞0，

又F（1，0），

∴S△ABO+S△AFO=×4×（y1﹣y2）+×y1=y1+

≥8，

若且唯若y1=，即y1=時，取“=”號，

∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是8，

故選：C．

【點評】求解本題時，應考慮以下幾個要點：

聯立直線與拋物線的方程，消x或y後建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．

求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據圖形的特徵選擇適當的底與高．

利用基本不等式時，應注意“一正，二定，三相等”．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題