如圖T4-3,已知拋物線交x軸於A,B兩點,交y軸於C點,A點座標為(-1,0),OC=2,OB=3,點D為拋...

問題詳情：

如圖T4-3,已知拋物線交x軸於A,B兩點,交y軸於C點,A點座標為(-1,0),OC=2,OB=3,點D為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)P為座標平面內一點,以B,C,D,P為頂點的四邊形是平行四邊形,求P點座標.

圖T4-3

【回答】

解:(1)∵二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交於點A(0,4),與x軸交於點B,C,點C座標為(8,0),

∴

解得

∴拋物線表達式為y=-x2+x+4.

(2)△ABC是直角三角形.理由:

令y=0,則-x2+x+4=0,

解得x1=8,x2=-2,

∴點B的座標為(-2,0).

由已知可得,

在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,

在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80,

又∵BC=OB+OC=2+8=10,

∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2,

∴△ABC是直角三角形.

(3)∵A(0,4),C(8,0),

∴AC==4.

①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸於N,此時N的座標為(-8,0);

②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸於N,此時N的座標為(8-4,0)或(8+4,0);

③作AC的垂直平分線,交x軸於N,此時N的座標為(3,0).

綜上,若點N在x軸上運動,當以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的座標分別為(-8,0),(8-4,0),(3,0),(8+4,0).

(4)設點N的座標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MD⊥x軸於點D,

∴MD∥OA,

∴△BMD∽△BAO,

∴=.

∵MN∥AC,

∴=,

∴=.

∵OA=4,BC=10,BN=n+2,

∴MD=(n+2).

∵S△AMN=S△ABN-S△BMN

    =BN·OA-BN·MD

    =(n+2)×4-×(n+2)2

    =-(n-3)2+5,

∴當△AMN面積最大時,N點座標為(3,0).

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題