定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．理解：（1）如圖1，點A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分...

問題詳情：

定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．

理解：

（1）如圖1，點A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O於點D，連接AD，CD．

求*：四邊形ABCD是等補四邊形；

探究：

（2）如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請説明理由．

運用：

（3）如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線於點F，CD＝10，AF＝5，求DF的長．

【回答】

【解答】解：（1）*：∵四邊形ABCD為圓內接四邊形，

∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴，

∴AD＝CD，

∴四邊形ABCD是等補四邊形；

（2）AD平分∠BCD，理由如下：

如圖2，過點A分別作AE⊥BC於點E，AF垂直CD的延長線於點F，

則∠AEB＝∠AFD＝90°，

∵四邊形ABCD是等補四邊形，

∴∠B+∠ADC＝180°，

又∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF，

∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴AE＝AF，

∴AC是∠BCF的平分線，即AC平分∠BCD；

（3）如圖3，連接AC，

∵四邊形ABCD是等補四邊形，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

又∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠BCD，

∵AF平分∠EAD，

∴∠FAD＝∠EAD，

由（2）知，AC平分∠BCD，

∴∠FCA＝∠BCD，

∴∠FCA＝∠FAD，

又∠AFC＝∠DFA，

∴△ACF∽△DAF，

∴，

即，

∴DF＝5﹣5．

知識點：各地中考

題型：解答題