定義：有兩個相鄰內角互餘的四邊形稱為鄰餘四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰餘線.  （1）如圖1，在△ABC中，AB...

問題詳情：

定義：有兩個相鄰內角互餘的四邊形稱為鄰餘四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰餘線. 

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，E，F分別是BD，AD上的點. 

求*：四邊形ABEF是鄰餘四邊形。

（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰餘四邊形ABEF，使AB是鄰餘線，E，F在格點上，   

（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點M，連結DM並延長交AB於點Q，延長EF交AC於點N.若N為AC的中點，DE=2BE，QB=3，求鄰餘線AB的長。   

【回答】

 （1）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線， 

∴AD⊥BC.

∴∠ADB=900.

∴∠DAB+∠DBA=90°.

∴∠FAB與∠EBA互餘.

∴四邊形ABEF是鄰餘四邊形 （2）解：如圖所示（*不唯一） 

（3）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線， 

∴BD=CD.

∵DE=2BE，

∴BD=CD=3BE.

∴CE=CD+DE=5BE.

∵∠EDF=90°，M為EF中點，

∴DM=ME.

∴∠MDE=∠MED.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∴△DBQ∽△AECN.

∵

∵QB=3，∴NC=5.

∵AN=CN，

∴AC=2CN=10.

∴AB=AC=10.

【考點】等腰三角形的*質，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的判定與*質，直角三角形的*質   

【解析】【解析】（1） 解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，

∴AD⊥BC.

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠DBA=90°.

∴∠FAB與∠EBA互餘.

∴四邊形ABEF是鄰餘四邊形  【分析】（1）根據等腰三角形的三線合一得出AD⊥BC，故∠ADB=90°，根據直角三角形的兩鋭角互餘得出∠FAB+∠EBA=90°，根據鄰餘四邊形的定義即可得出結論：四邊形ABEF是鄰餘四邊形；  （2）開放*的命題，*不唯一：在過點A的水平線與過點B的豎直線上各取一個格點F，E再順次連接A,F,E,B即可得出所求的鄰餘四邊形；  （3）根據等腰三角形的三線合一得出BD=CD，進而得出CE=5BE，根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半得出DM=ME，根據等邊對等角得出∠MDE=∠MED，∠B=∠C，根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似得出△DBQ∽△ECN，根據相似三角形對應邊成比例得出QB∶NC=BD∶CE=3∶5,根據比例式得出NC的長，進而即可得出AC的長，最後根據AB=AC即可得出*。

知識點：各地中考

題型：解答題