在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC於...
問題詳情：
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC於點N．以MN為直徑作⊙O，並在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）（3分）用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；
（2）（3分）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？
（3）（3分）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關於x的函數表達式，並求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
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【回答】
解：
（1）∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C， ∴△AMN∽△ABC， ∴ | |
（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切於點D，連結AO、OD， 則AO=OD= | |
（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，如圖3，連結AP， 則O點為AP的中點， ∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC， ∴△AMO∽△ABP， ∴ |
，即
， ∴AN=
x， ∴
（0<x<4）。
MN， 在Rt△ABC中，
， 由（1）知△AMN∽△ABC， ∴
，即
， ∴
， 
∴
， 過M點作MQ⊥BC 於Q，則
， 在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴
， ∴
，
， ∴x=
， ∴當x=
時，⊙O與直線BC相切。
，AM=MB=2， 故以下分兩種情況討論： ①當0＜x≤2時，
； ∴當x=2時，
； ②當2＜x＜4時，如圖4，設PM，PN分別交BC於E，F， ∵四邊形AMPN是矩形， ∴PN∥AM，PN=AM=x， 又∵MN∥BC， ∴四邊形MBFN是平行四邊形， ∴FN=BM=4-x， ∴PF=x-（4-x）=2x-4， 又△PEF∽△ACB， ∴
， ∴
， 
， 當2＜x＜4時，
， ∴當
時，滿足2＜x＜4，
， 綜上所述，當
時，y值最大，最大值是2。知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
