已知數列是首項為，公比的等比數列，設，數列滿足.（1）求*：數列是等差數列；（2）求數列的前項和；（3）若對一...

問題詳情：

已知數列是首項為，公比的等比數列，設，數列滿足.

（1）求*：數列是等差數列；

（2）求數列的前項和；

（3）若對一切正整數恆成立，求實數的取值範圍.

【回答】

解:(1)*：由題意知，an＝n(n∈N＋)，

∵bn＝3logan－2，b1＝3loga1－2＝1，

∴bn＋1－bn＝3logan＋1－3logan＝3log＝3logq＝3，

∴數列{bn}是首項b1＝1，公差d＝3的等差數列．                    4分

(2)由(1)知，an＝n，bn＝3n－2(n∈N＋)，

∴cn＝(3n－2)×n(n∈N＋)，

∴Sn＝1×＋4×2＋7×3＋…＋(3n－5)×n－1＋(3n－2)×n；

於是Sn＝1×2＋4×3＋7×4＋…＋(3n－5)×n＋(3n－2)×n＋1，

                                                              6分

兩式相減得

Sn＝＋3－(3n－2)×n＋1＝－(3n＋2)×n＋1.

∴Sn＝－×n＋1(n∈N＋)．                               8分

(3)∵cn＋1－cn＝(3n＋1)·n＋1－(3n－2)·n＝9(1－n)·n＋1(n∈N＋)，

∴當n＝1時，c2＝c1＝，

當n≥2時，cn＋1＜cn，即c1＝c2＞c3＞c4＞…＞cn，

∴當n＝1或2時，cn取得最大值是.                               10分

又cn≤m2＋m－1對一切正整數n恆成立，

∴m2＋m－1≥，

即m2＋4m－5≥0，解得m≥1或m≤－5.

故實數m的取值範圍為{m|m≥1或m≤－5}．                     12分

知識點：數列

題型：解答題