已知各項均為正數的兩個數列和滿足：，，（1）設，，求*：數列是等差數列；（2）設，，且是等比數列，求和的值．
來源：國語幫 2.97W
問題詳情：
已知各項均為正數的兩個數列
和
滿足：
，
，
（1）設
，
，求*：數列
是等差數列；
（2）設
，
，且
是等比數列，求
和
的值．
【回答】
（1）見解析
（2）
【解析】
（1）根據題設
和
，求出
，從而*
而得*．
（2）根據基本不等式得到
，用反*法*等比數列
的公比
．
從而得到
的結論，再由
知
是公比是
的等比數列．最後用反*法求出
解：（1）∵
，∴
．
∴
．
∴
．
∴數列
是以1 為公差的等差數列．
（2）∵
，∴
．
∴
．（﹡）
設等比數列
的公比為
，由
知
，下面用反*法*
若
則
，∴當
時，
，與（﹡）矛盾．
若
則
，∴當
時，
，與（﹡）矛盾．
∴綜上所述，
．∴
，∴
．
又∵
，∴
是公比是
的等比數列．
若
，則
，於是
．
又由
即
，得
．
∴
中至少有兩項相同，與
矛盾．∴
．
∴
．
∴
【考點定位】本題綜合考查等差數列的定義、等比數列的有關知識的靈活運用，指數冪和根式的互化，數列通項公式的求解，注意利用等差數列的定義*問題時一般思路和基本方法，本題是有關數列的綜合題，從近幾年的高考命題趨勢看，數列問題仍是高考的熱點、重點問題，在訓練時，要引起足夠的重視．
知識點：數列
題型：解答題
