已知為等差數列，為等比數列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求*：；（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列...
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問題詳情：
已知
為等差數列，
為等比數列，
．
（Ⅰ）求
和
的通項公式；
（Ⅱ）記
的前
項和為
，求*：
；
（Ⅲ）對任意的正整數
，設
求數列
的前
項和．
【回答】
（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）*見解析；（Ⅲ）
.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比，然後利用等差、等比數列的通項公式得到結果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列
前n項和，然後利用作差法*即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然後分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算
和
的值，據此進一步計算數列
的前2n項和即可.
【詳解】(Ⅰ)設等差數列
的公差為
，等比數列
的公比為q.
由
，
，可得d=1.
從而
的通項公式為
.
由
，
又q≠0，可得
，解得q=2，
從而
的通項公式為
.
(Ⅱ)*：由(Ⅰ)可得
，
故
，
，
從而
，
所以
.
(Ⅲ)當n
奇數時，
，
當n為偶數時，
，
對任意的正整數n，有
，
和
①
由①得
②
由①②得
，
由於
，
從而得：
.
因此，
.
所以，數列
的前2n項和為
.
【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，分組求和法，指數型裂項求和，錯位相減求和等，屬於中等題.
知識點：高考試題
題型：解答題
