如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB＝2BC，取EF的中點M，連接MD，MG，...
問題詳情：
如圖1，正方形ABDE和BCFG的邊AB，BC在同一條直線上，且AB＝2BC，取EF的中點M，連接MD，MG，MB．
（1）試*DM⊥MG，並求
的值．
（2）如圖2，將圖1中的正方形變為菱形，設∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它條件不變，問（1）中
的值有變化嗎？若有變化，求出該值（用含α的式子表示）；若無變化，説明理由．
【回答】
（1）*：如圖1中，延長DM交FG的延長線於H．
∵四邊形ABCD，四邊形BCFG都是正方形，
∴DE∥AC∥GF，
∴∠EDM＝∠FHM，
∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，
∴△EDM≌△FHM（AAS），
∴DE＝FH，DM＝MH，
∵DE＝2FG，BG＝DG，
∴HG＝DG，
∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，
∴GM⊥DM，DM＝MG，
連接EB，BF，設BC＝a，則AB＝2a，BE＝2
a，BF＝
a，
∵∠EBD＝∠DBF＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF＝
＝
a，
∵EM＝MF，
∴BM＝
EF＝
a，
∵HM＝DM，GH＝FG，
∴MG＝
DF＝
a，
∴
＝
＝
．
（2）解：（1）中
的值有變化．
理由：如圖2中，連接BE，AD交於點O，連接OG，CG，BF，CG交BF於O′．
∵DO＝OA，DG＝GB，
∴GO∥AB，OG＝
AB，
∵GF∥AC，
∴O，G，F共線，
∵FG＝
AB，
∴OF＝AB＝DF，
∵DF∥AC，AC∥OF，
∴DE∥OF，
∴OD與EF互相平分，
∵EM＝MF，
∴點M在直線AD上，
∵GD＝GB＝GO＝GF，
∴四邊形OBFD是矩形，
∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，
∵OM＝MD，OG＝GF，
∴MG＝
DF，設BC＝m，則AB＝2m，
易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，
∵BM＝EF＝
＝
，GM＝DF＝m•sinα，
∴
＝
＝
．
知識點：各地中考
題型：綜合題
