如圖,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,將直角三角板的頂點P在*線OM上移動,兩直角邊分別與OA、OB相交於...
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問題詳情:
如圖,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,將直角三角板的頂點P在*線OM上移動,兩直角邊分別與OA、OB相交於點C、D,問PC與PD相等嗎?試説明理由.
【回答】
【考點】角平分線的*質;全等三角形的判定與*質.
【分析】先過點P作PE⊥OA於點E,PF⊥OB於點F,構造全等三角形:Rt△PCE和Rt△PDF,這兩個三角形已具備兩個條件:90°的角以及PE=PF,只需再*∠EPC=∠FPD,根據已知,兩個角都等於90°減去∠CPF,那麼三角形全等就可*.
【解答】解:PC與PD相等.理由如下:
過點P作PE⊥OA於點E,PF⊥OB於點F.
∵OM平分∠AOB,點P在OM上,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)
又∵∠AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°,
∴四邊形OEPF為矩形,
∴∠EPF=90°,
∴∠EPC+∠CPF=90°,
又∵∠CPD=90°,
∴∠CPF+∠FPD=90°,
∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF.
在△PCE與△PDF中,
∵,
∴△PCE≌△PDF(ASA),
∴PC=PD.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題