定義：如圖1，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與*線OA，OB交於M，N兩點，若∠MPN繞點P旋...
問題詳情：
定義：如圖1，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與*線OA，OB交於M，N兩點，若∠MPN繞點P旋轉時始終滿足OM•ON＝OP2，則稱∠MPN是∠AOB的“相關角”．
（1）如圖1，已知∠AOB＝60°，點P為∠AOB平分線上一點，∠MPN的兩邊分別與*線OA，OB交於M，N兩點，且∠MPN＝150°．求*：∠MPN是∠AOB的“相關角”；
（2）如圖2，已知∠AOB＝α（0°
α
90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相關角”，連結MN，用含α的式子分別表示∠MPN的度數和△MON的面積；
（3）如圖3，C是函數
（x
0）圖象上的一個動點，過點C的直線CD分別交x軸和y軸於點A，B兩點，且滿足BC＝3CA，∠AOB的“相關角”為∠APB，請直接寫出OP的長及相應點P的座標．
【回答】
（1）見解析；（2）
；（3）
，P點座標為
或
【解析】
【分析】
（1）由角平分線求出∠MOP＝∠NOP＝
∠AOB＝30°，再*出∠OMP＝∠OPN，*△MOP∽△PON，即可得出結論；
（2）由∠MPN是∠AOB的“相關角”，判斷出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣
α；過點M作MH⊥OB於H，由三角形的面積公式得出：S△MON＝
ON•MH，即可得出結論；
（3）設點C（a，b），則ab＝3，過點C作CH⊥OA於H；分兩種情況：①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC＝3CA不可能；當點A在x軸的正半軸上時；先求出
，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：
，得出OB，OA，求出OA•OB，根據∠APB是∠AOB的“相關角”，得出OP，即可得出點P的座標；②當點B在y軸的負半軸上時；同①的方法即可得出結論．
【詳解】
（1）*：∵∠AOB＝60°，P為∠AOB的平分線上一點，
∴∠AOP＝∠BOP＝
∠AOB＝30°，
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，
∴∠OMP+∠MPO＝150°，
∵∠MPN＝150°，
∴∠MPO+∠OPN＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴△MOP∽△PON，
∴
，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相關角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相關角”，
∴OM•ON＝OP2，
∴
，
∵P為∠AOB的平分線上一點，
∴∠MOP＝∠NOP＝
α，
∴△MOP∽△PON，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣
α，
即∠MPN＝180°﹣
α；
過點M作MH⊥OB於H，如圖2，
則S△MON＝
ON•MH＝
ON•OMsinα＝
OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝
sinα；
（3）設點C（a，b），則ab＝4，
過點C作CH⊥OA於H；分兩種情況：
①當點B在y軸正半軸上時；
Ⅰ、當點A在x軸的負半軸上，如圖3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、當點A在x軸的正半軸上時，如圖4所示：
∵BC＝3CA，
∴
，
∵CH
OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
，
∴
,
∴OB＝4b，OA＝
a，
∴OA•OB＝
a•4b＝
ab＝
，
∵∠APB是∠AOB的“相關角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴
，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴點P的座標為：
；
②當點B在y軸的負半軸上時，如圖5所示：
∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴
，
∵CH
OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
，
∴
∴OB＝2b，OA＝
a，
∴OA•OB＝
a•2b＝
ab＝
，
∵∠APB是∠AOB的“相關角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴
，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴點P的座標為：
；
綜上所述：點P的座標為：
或
．
【點睛】
本題考查反比例函數與幾何綜合，掌握數形結合和分類討論的思想是解題的關鍵．
知識點：反比例函數單元測試
題型：解答題
