如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC＝6，N為邊OB上異於點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ...
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問題詳情：
如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC＝6，N為邊OB上異於點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB於點Q，PM∥OB交OA於點M．
（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求*：CN⊥OB．
（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形．
①問：－的值是否發生變化？如果變化，求出其取值範圍；如果不變，請説明理由．
②設菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值範圍．
【回答】
解：（1）過P作PE⊥OA於E，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四邊形OMPQ為平行四邊形，
∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，
∴PE=PM•sin60°=
，ME=
，
∴CE=OC﹣OM﹣ME=
，
∴tan∠PCE=
=
，
∴∠PCE=30°，
∴∠CPM=90°，
又∵PM∥OB，
∴∠CNO=∠CPM=90°，
則CN⊥OB；
（2）①
﹣
的值不發生變化，理由如下：
設OM=x，ON=y，
∵四邊形OMPQ為菱形，
∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，
∵PQ∥OA，
∴∠NQP=∠O，
又∵∠QNP=∠ONC，
∴△NQP∽△NOC，
∴
=
，即
=
，
∴6y﹣6x=xy．兩邊都除以6xy，得
﹣
=
，即
﹣
=
．
②過P作PE⊥OA於E，過N作NF⊥OA於F，
則S1=OM•PE，S2=
OC•NF，
∴
=
．
∵PM∥OB，
∴∠PMC=∠O，
又∵∠PCM=∠NCO，
∴△CPM∽△CNO，
∴
=
=
，
∴
=
=﹣
（x﹣3）2+
，
∵0＜x＜6，
則根據二次函數的圖象可知，0＜
≤
．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
