關於x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有兩個相等的實數根,其中∠A是鋭角三角形ABC的一個內角.(1)求si...
問題詳情:
關於x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有兩個相等的實數根,其中∠A是鋭角三角形ABC的一個內角.
(1)求sinA的值;
(2)若關於y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的兩個根恰好是△ABC的兩邊長,求△ABC的周長.
【回答】
(1)sinA=;(2)△ABC的周長為或16.
【解析】
分析:(1)利用判別式的意義得到△=25sin2A-16=0,解得sinA=;
(2)利用判別式的意義得到100-4(k2-4k+29)≥0,則-(k-2)2≥0,所以k=2,把k=2代入方程後解方程得到y1=y2=5,則△ABC是等腰三角形,且腰長為5.
分兩種情況:當∠A是頂角時:如圖,過點B作BD⊥AC於點D,利用三角形函數求出AD=3,BD=4,再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周長;
當∠A是底角時:如圖,過點B作BD⊥AC於點D,在Rt△ABD中,AB=5,利用三角函數求出AD得到AC的長,從而得到△ABC的周長.
詳解:(1)根據題意得△=25sin2A-16=0,
∴sin2A=,
∴sinA=±,
∵∠A為鋭角,
∴sinA=;
(2)由題意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有兩個實數根,
則△≥0,
∴100-4(k2-4k+29)≥0,
∴-(k-2)2≥0,
∴(k-2)2≤0,
又∵(k-2)2≥0,
∴k=2,
把k=2代入方程,得y2-10y+25=0,
解得y1=y2=5,∴△ABC是等腰三角形,且腰長為5.
分兩種情況:
當∠A是頂角時:如圖,過點B作BD⊥AC於點D,在Rt△ABD中,AB=AC=5,
∵sinA=,
∴AD=3,BD=4∴DC=2,
∴BC=2.
∴△ABC的周長為10+2;
當∠A是底角時:如圖,過點B作BD⊥AC於點D,
在Rt△ABD中,AB=5,
∵sinA=,
∴AD=DC=3,
∴AC=6.
∴△ABC的周長為16,
綜合以上討論可知:△ABC的周長為10+2或16.
點睛:本題考查了根的判別式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關係:當△>0時,方程有兩個不相等的實數根;當△=0時,方程有兩個相等的實數根;當△<0時,方程無實數根.也考查瞭解直角三角形.
知識點:解一元二次方程
題型:解答題