如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點，AB=13，AC=5．（1）如圖（1），若點P是的中點，求PA的長；（...
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問題詳情：
如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是
上兩點，AB=13，AC=5．
（1）如圖（1），若點P是
的中點，求PA的長；
（2）如圖（2），若點P是
的中點，求PA的長．
【回答】
【考點】相似三角形的判定與*質；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關係；圓周角定理．
【專題】幾何綜合題．
【分析】（1）根據圓周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根據垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據對應邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進而求得PA．
【解答】解：（1）如圖（1）所示，連接PB，
∵AB是⊙O的直徑且P是
的中點，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PA=
=
=
．
（2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交於M點，作PN⊥AB於點N，
∵P點為弧BC的中點，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因為AB為直徑
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因為∠ACB=∠ONP=90°，
∴△ACB∽△0NP
∴
=
，
又∵AB=13 AC=5 OP=
，
代入得 ON=
，
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36
在Rt△ANP中 有PA=
=
=3
∴PA=3
．
【點評】本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和*質，相似三角形的判定和*質，作出輔助線是本題的關鍵．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
