（2019·湖北中考模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點，以BD為直徑...

問題詳情：

（2019·湖北中考模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經過點E，且交BC於點F

(1)求*：AC是⊙O的切線；

(2)若CF＝2，CE＝4，求⊙O的半徑．

【回答】

（1）見解析；（2）⊙O的半徑為5．

【解析】

（1）*：連接OE．

∵OE＝OB，

∴∠OBE＝∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC，

∴∠EBC＝∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA＝∠C，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OEA＝90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r．

過點O作OH⊥BF交BF於H，

由題意可知四邊形OECH為矩形，

∴OH＝CE＝4，CH＝OE＝r，

∴BH＝FH＝CH－CF＝r－2，

在Rt△BHO中，∵OH2+BH2＝OB2，

∴42+（r－2）2＝r2，

解得r＝5．

∴⊙O的半徑為5．

【點睛】

本題考查了圓的切線的判定、角平分線和平行線的*質、勾股定理、垂徑定理等知識，在圓中常利用勾股定理計算圓中的線段．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題