如圖①，在平面直角座標系中，圓心為P（x，y）的動圓經過點A（1，2）且與x軸相切於點B．（1）當x=2時，求...

問題詳情：

如圖①，在平面直角座標系中，圓心為P（x，y）的動圓經過點A（1，2）且與x軸相切於點B．

（1）當x=2時，求⊙P的半徑；

（2）求y關於x的函數解析式，請判斷此函數圖象的形狀，並在圖②中畫出此函數的圖象；

（3）請類比圓的定義（圖可以看成是到定點的距離等於定長的所有點的*），給（2）中所得函數圖象進行定義：此函數圖象可以看成是到　點A　的距離等於到　x軸　的距離的所有點的*．

（4）當⊙P的半徑為1時，若⊙P與以上（2）中所得函數圖象相交於點C、D，其中交點D（m，n）在點C的右側，請利用圖②，求cos∠APD的大小．

【回答】

【分析】（1）由題意得到AP=PB，求出y的值，即為圓P的半徑；

（2）利用兩點間的距離公式，根據AP=PB，確定出y關於x的函數解析式，畫出函數圖象即可；

（3）類比圓的定義描述此函數定義即可；

（4）畫出相應圖形，求出m的值，進而確定出所求角的餘弦值即可．

【解答】解：（1）由x=2，得到P（2，y），

連接AP，PB，

∵圓P與x軸相切，

∴PB⊥x軸，即PB=y，

由AP=PB，得到=y，

解得：y=，

則圓P的半徑為；

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：y=（x﹣1）2+1，即圖象為開口向上的拋物線，

畫出函數圖象，如圖②所示；

（3）給（2）中所得函數圖象進行定義：此函數圖象可以看成是到點A的距離等於到x軸的距離的所有點的*；

故*為：點A；x軸；

（4）連接CD，連接AP並延長，交x軸於點F，

設PE=a，則有EF=a+1，ED=，

∴D座標為（1+，a+1），

代入拋物線解析式得：a+1=（1﹣a2）+1，

解得：a=﹣2+或a=﹣2﹣（捨去），即PE=﹣2+，

在Rt△PED中，PE=﹣2，PD=1，

則cos∠APD==﹣2．

【點評】此題屬於圓的綜合題，涉及的知識有：兩點間的距離公式，二次函數的圖象與*質，圓的*質，勾股定理，弄清題意是解本題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：綜合題