在平面直角座標系xOy中，點P的座標為（x1，y1），點Q的座標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，點P的座標為（x1，y1），點Q的座標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條座標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”，如圖為點P，Q的“相關矩形”示意圖．

（1）已知點A的座標為（1，0），

①若點B的座標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面積；

②點C在直線x＝3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；

（2）⊙O的半徑為，點M的座標為（m，3），若在⊙O上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值範圍．

【回答】

解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定義可知：點A，B的“相關矩形”的底與高分別為2和1，

∴點A，B的“相關矩形”的面積為2×1＝2；

②由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，

又∵點A，C的“相關矩形”為正方形

∴直線AC與x軸的夾角為45°，

設直線AC的解析為：y＝x＋m或y＝－x＋n

把（1，0）分別y＝x＋m，

∴m＝－1，

∴直線AC的解析為：y＝x－1，

把（1，0）代入y＝－x＋n，

∴n＝1，

∴y＝－x＋1，

綜上所述，若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y＝x－1或y＝－x＋1；

（2）設直線MN的解析式為y＝kx＋b，

∵點M，N的“相關矩形”為正方形，

∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，

∴k＝±1，

∵點N在⊙O上，

∴當直線MN與⊙O有交點時，點M，N的“相關矩形”為正方形，

當k＝1時，

作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，

其中A、C為⊙O的切點，直線AD與y軸交於點D，直線BC與y軸交於點B，

連接OA，OC，

把M（m，3）代入y＝x＋b，

∴b＝3－m，

∴直線MN的解析式為：y＝x＋3－m

∵∠ADO＝45°，∠OAD＝90°，

∴OD＝OA＝2，

∴D（0，2）

同理可得：B（0，－2），

∴令x＝0代入y＝x＋3－m，

∴y＝3－m，

∴－2≤3－m≤2，

∴1≤m≤5，

當k＝－1時，把M（m，3）代入y＝－x＋b，

∴b＝3＋m，

∴直線MN的解析式為：y＝x＋3＋m，

同理可得：－2≤3＋m≤2，

∴－5≤m≤－1；

綜上所述，當點M，N的“相關矩形”為正方形時，m的取值範圍是：1≤m≤5或－5≤m≤－1

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題