如圖，在直角座標系中，已知點B（4，0），等邊三角形OAB的頂點A在反比例函數y＝的圖象上．（1）求反比例函數...
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問題詳情：
如圖，在直角座標系中，已知點B（4，0），等邊三角形OAB的頂點A在反比例函數y＝
的圖象上．
（1）求反比例函數的表達式．
（2）把△OAB向右平移a個單位長度，對應得到△O'A'B'當這個函數圖象經過△O'A'B'一邊的中點時，求a的值．
【回答】
【分析】（1）過點A作AC⊥OB於點C，根據等邊三角形的*質得出點A座標，用待定係數法求得反比例函數的解析式即可；
（2）分兩種情況討論：①反比例函數圖象過AB的中點；②反比例函數圖象過AO的中點．分別過中點作x軸的垂線，再根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出中點的縱座標，代入反比例函數的解析式得出中點座標，再根據平移的法則得出a的值即可．
【解答】解：（1）過點A作AC⊥OB於點C，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，OC＝
OB，
∵B（4，0），
∴OB＝OA＝4，
∴OC＝2，AC＝2
．
把點A（2，2
）代入y＝
，得k＝4
．
∴反比例函數的解析式為y＝
；
（2）分兩種情況討論：
①點D是A′B′的中點，過點D作DE⊥x軸於點E．
由題意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，
在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝
，B′E＝1．
∴O′E＝3，
把y＝
代入y＝
，得x＝4，
∴OE＝4，
∴a＝OO′＝1；
②如圖3，點F是A′O′的中點，過點F作FH⊥x軸於點H．
由題意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，
在Rt△FO′H中，FH＝
，O′H＝1．
把y＝
代入y＝
，得x＝4，
∴OH＝4，
∴a＝OO′＝3，
綜上所述，a的值為1或3．
【點評】本題考查了用待定係數法求反比例函數的解析式，掌握直角三角形、等邊三角形的*質以及分類討論思想是解題的關鍵．
知識點：各地中考
題型：解答題
