已知函數有且只有一個零點，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對任意的，有成立，求實數的最大值；（Ⅲ）設，對任意,*...

問題詳情：

已知函數有且只有一個零點，其中．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對任意的，有成立，求實數的最大值；

（Ⅲ）設，對任意, *：不等式恆成立．

【回答】

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（﹣a，+∞），．

由f'（x）=0，得x=1﹣a＞﹣a．

∵當﹣a＜x＜1﹣a時，f'（x）＞0；當x＞1﹣a時，f'（x）＜0，

∴f（x）在區間（﹣a，1﹣a]上是增函數，在區間[1﹣a，+∞）上是減函數，

∴f（x）在x=1﹣a處取得最大值．

由題意知f（1﹣a）=﹣1+a=0，解得a=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）﹣x，

當k≥0時，取x=1得，f（1）=ln2﹣1＜0，知k≥0不合題意．

當k＜0時，設g（x）=f（x）﹣kx2=ln（x+1）﹣x﹣kx2．

則

令g/（x）=0，得x1=0，．

①若≤0，即k≤﹣時，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恆成立，

∴g（x）在[0，+∞）上是增函數，從而總有g（x）≥g（0）=0，

即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恆成立．

②若，即時，對於，g'（x）＜0，

∴g（x）在上單調遞減．

於是，當取時，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．

故不合題意．

綜上，k的最大值為．

（Ⅲ） 由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．

不妨設x1＞x2＞﹣1，則要*，

只需*，

即*，

即*．

設，則只需*，

化簡得．

設，則，

∴φ（t）在（1，+∞）上單調遞增，

∴φ（t）＞φ（1）=0．

即，得*．

故原不等式恆成立．

知識點：函數的應用

題型：解答題