若函數f(x)對定義域中任意x均滿足f(x)+f(2a﹣x)=2b,則函數f(x)的圖象關於點(a,b)對稱....
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問題詳情:
若函數f(x)對定義域中任意x均滿足f(x)+f(2a﹣x)=2b,則函數f(x)的圖象關於點(a,b)對稱.
(1)已知函數f(x)=的圖象關於點(0,1)對稱,求實數m的值;
(2)已知函數g(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的圖象關於點(0,1)對稱,且當x∈(0,+∞)時,g(x)=x2+ax+1,求函數g(x)在(﹣∞,0)上的解析式;
(3)在(1)、(2)的條件下,若對實數x<0及t>0,恆有g(x)<f(t)成立,求實數a的取值範圍.
【回答】
解:(1)因為函數f(x)的圖象關於點(0,1)對稱,
∴f(x)+f(﹣x)=2,
即,
所以2m=2,
∴m=1.
(2)因為函數g(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的圖象關於點(0,1)對稱,
則g(x)+g(﹣x)=2,
∴g(x)=2﹣g(﹣x),
∴當x<0時,則﹣x>0,
∴g(﹣x)=x2﹣ax+1,
∴g(x)=2﹣g(﹣x)=﹣x2+ax+1;
(3)由(1)知,,
∴f(t)min=3,
又當x<0時,g(x)=﹣x2+ax+1
∴g(x)=﹣x2+ax+1<3,
∴ax<2+x2又x<0,
∴,
∴.
知識點:函數的應用
題型:解答題