已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.試判斷三角形的形狀.

問題詳情：

已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.試判斷三角形的形狀.

【回答】

是等邊三角形.

【解析】

試題分析:先將a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0的兩邊同時乘以2,可得2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0,即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0,根據完全平方公式因式分解可得: (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0,因為(a－b)2≥0,(b－c)2≥0,(a－c)2≥0,所以a－b＝0,b－c＝0,a－c＝0,根據三邊的關係可判定三角形形狀.

試題解析:∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0,

∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0,

即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0,

∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0,

又∵(a－b)2≥0,(b－c)2≥0,(a－c)2≥0,

∴a－b＝0,b－c＝0,a－c＝0,

即a＝b＝c,∴△ABC為等邊三角形.

知識點：因式分解

題型：解答題