如圖，函數(k為常數，k＞0)的圖象與過原點的O的直線相交於A，B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在...

問題詳情：

如圖，函數(k為常數，k＞0)的圖象與過原點的O的直線相交於A，B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在點A的左側），直線AM分別交x軸，y軸於C，D兩點，連接BM分別交x軸，y軸於點E，F．現有以下四個結論：①△ODM與△OCA的面積相等；②若BM⊥AM於點M，則∠MBA＝30°；③若M點的橫座標為1，△OAM為等邊三角形，則；④若，則MD＝2MA．其中正確的結論的序號是_______．

【回答】

①③④

【解析】

①設點A（m，），M（n，），構建一次函數求出C，D座標，利用三角形的面積公式計算即可判斷．

②△OMA不一定是等邊三角形，故結論不一定成立．

③設M（1，k），由△OAM為等邊三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根據OM=AM，構建方程求出k即可判斷．

④如圖，作MK∥OD交OA於K．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．

【詳解】

①設點A（m，），M（n，），

則直線AC的解析式為y=-x++，

∴C（m+n，0），D（0，），

∴，

∴△ODM與△OCA的面積相等，故①正確；

∵反比例函數與正比例函數關於原點對稱，

∴O是AB的中點，

∵BM⊥AM，

∴OM=OA，

∴k=mn，

∴A（m，n），M（n，m），

∴，

∴AM不一定等於OM，

∴∠BAM不一定是60°，

∴∠MBA不一定是30°．故②錯誤，

∵M點的橫座標為1，

∴可以假設M（1，k），

∵△OAM為等邊三角形，

∴OA=OM=AM，

1+k2=m2+，

∵m＞0，k＞0，

∴m=k，

∵OM=AM，

∴（1-m）2+(k−)2=1+k2，

∴k2-4k+1=0，

∴k=2±，

∵m＞1，

∴k=2+，故③正確，

如圖，作MK∥OD交OA於K．

∵OF∥MK，

∴，

∴，

∵OA=OB，

∴，

∴，

∵KM∥OD，

∴，

∴DM=2AM，故④正確．

故*為①③④．

【點睛】

本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會構造平行線，利用平行線分線段成比例定理解決問題

知識點：反比例函數單元測試

題型：填空題