如圖所示：△ABC中，CA=CB，點D為AB上一點，∠A=∠PDQ=α．（1）如圖1，若點P、Q分別在AC、B...
問題詳情：
如圖所示：△ABC中，CA=CB，點D為AB上一點，∠A=
∠PDQ=α．
（1）如圖1，若點P、Q分別在AC、BC上，AD=BD，問：DP與DQ有何數量關係？*你的結論；
（2）如圖2，若點P在AC的延長線上，點Q在BC上，AD=BD，則DP與DQ有何數量關係？如圖3，若點P、Q分別在AC、CB的延長線上，AD=BD，則DP與DQ有何數量關係？請在圖2或圖3中任選一個進行*；
（3）如圖4，若
，作∠PDQ=2a，使點P在AC上，點Q在BC的延長線上，完成圖4，判斷DP與DQ的數量關係，*你的結論．
【回答】
解：（1）分兩種情況：
①當DP⊥AC，DQ⊥BC時，
∵∠A=∠B，∠APD=∠BQD=90°，AD=BD，
∴△ADP≌△BDQ，∴DP=DQ；
②當DP、AC不垂直，DQ、BC不垂直時；
如圖1，過D作DM⊥AC於M，DN⊥BC於N，由①可得DM=DN；
在四邊形CMDN中，∠DMC=∠DNC=90°，∴∠MDN+∠MCN=180°；
又∵∠MCN+2∠A=180°，∴∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；
∴∠PDM=∠QDN=2α﹣∠MDQ，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；
綜合上面兩種情況，得：當點P、Q分別在AC、BC上，且AD=BD時，DP、DQ的數量關係為：相等．
（2）圖2、圖3的結論與圖1的完全相同，*法一致；以圖2為例進行説明：
圖2中，過D作DM⊥AC於M，DN⊥BC於N，則DM=DN；
同（1）可得：∠MDN=∠PDQ=2α，則∠PDM=∠QDN=2α﹣∠PDN，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；
圖3的*法同上；
所以在圖2、圖3中，（1）的結論依然成立，即DP、DQ的數量關係為：相等．
（3）DP、DQ的數量關係為：DP=nDQ，理由如下：
如圖4，過D作DM⊥AC於M，DN⊥BC於N；
∵∠A=∠B，∠AMD=∠BND=90°，
∴△ADM∽△BDN，
∴
，即AD=nBD；
同上可得：∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；
∴∠MDP=∠NDQ=2α+∠NDP，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，
∴△DMP∽△DNQ，得：
，即DP=nDQ；
所以在（3）題的條件下，DP、DQ的數量關係為：DP=nDQ．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
