如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,垂足為點E,GF⊥CD,垂足為點F.(1)*...
問題詳情:
如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,垂足為點E,GF⊥CD,垂足為點F.
(1)*與推斷:
①求*:四邊形CEGF是正方形;
②推斷:的值為 :
(2)探究與*:
將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AG與BE之間的數量關係,並説明理由:
(3)拓展與運用:
正方形CEGF在旋轉過程中,當B,E,F三點在一條直線上時,如圖(3)所示,延長CG交AD於點H.若AG=6,GH=2,則BC= .
【回答】
(1)①四邊形CEGF是正方形;②;(2)線段AG與BE之間的數量關係為AG=BE;(3)3
【解析】
(1)①由、結合可得四邊形CEGF是矩形,再由即可得*;
②由正方形*質知、,據此可得、,利用平行線分線段成比例定理可得;
(2)連接CG,只需*∽即可得;
(3)*∽得,設,知,由得、、,由可得a的值.
【詳解】
(1)①∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,
∵GE⊥BC、GF⊥CD,
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四邊形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,
∴EG=EC,
∴四邊形CEGF是正方形;
②由①知四邊形CEGF是正方形,
∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,
∴,GE∥AB,
∴,
故*為;
(2)連接CG,
由旋轉*質知∠BCE=∠ACG=α,
在Rt△CEG和Rt△CBA中,
=、=,
∴=,
∴△ACG∽△BCE,
∴,
∴線段AG與BE之間的數量關係為AG=BE;
(3)∵∠CEF=45°,點B、E、F三點共線,
∴∠BEC=135°,
∵△ACG∽△BCE,
∴∠AGC=∠BEC=135°,
∴∠AGH=∠CAH=45°,
∵∠CHA=∠AHG,
∴△AHG∽△CHA,
∴,
設BC=CD=AD=a,則AC=a,
則由得,
∴AH=a,
則DH=AD﹣AH=a,CH==a,
∴由得,
解得:a=3,即BC=3,
故*為3.
【點睛】
本題考查了正方形的*質與判定,相似三角形的判定與*質等,綜合*較強,有一定的難度,正確添加輔助線,熟練掌握正方形的判定與*質、相似三角形的判定與*質是解題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:解答題