如圖①，直線l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形ABCD是一塊邊長為100米的正方形草地，點A，D在直線l上，...

問題詳情：

如圖①，直線l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形ABCD是一塊邊長為100米的正方形草地，點A，D在直線l上，小明從點A出發，沿公路l向西走了若干米後到達點E處，然後轉身沿*線EB方向走到點F處，接着又改變方向沿*線FC方向走到公路l上的點G處，最後沿公路l回到點A處．設AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y與x之間的函數關係如圖②所示，

（1）求圖②中線段MN所在直線的函數表達式；

（2）試問小明從起點A出發直至最後回到點A處，所走過的路徑（即△EFG）是否可以是一個等腰三角形？如果可以，求出相應x的值；如果不可以，説明理由．

【回答】

【分析】（1）根據點M、N的座標，利用待定係數法即可求出圖②中線段MN所在直線的函數表達式；

（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三種情況考慮：①考慮FE=FG是否成立，連接EC，通過計算可得出ED=GD，結合CD⊥EG，可得出CE=CG，根據等腰三角形的*質可得出∠CGE=∠CEG、∠FEG＞∠CGE，進而可得出FE≠FG；②考慮FG=EG是否成立，由正方形的*質可得出BC∥EG，進而可得出△FBC∽△FEG，根據相似三角形的*質可得出若FG=EG則FC=BC，進而可得出CG、DG的長度，在Rt△CDG中，利用勾股定理即可求出x的值；③考慮EF=EG是否成立，同理可得出若EF=EG則FB=BC，進而可得出BE的長度，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出x的值．綜上即可得出結論．

【解答】解：（1）設線段MN所在直線的函數表達式為y=kx+b，

將M（30，230）、N（100，300）代入y=kx+b，

，解得：，

∴線段MN所在直線的函數表達式為y=x+200．

（2）分三種情況考慮：

①考慮FE=FG是否成立，連接EC，如圖所示．

∵AE=x，AD=100，GA=x+200，

∴ED=GD=x+100．

又∵CD⊥EG，

∴CE=CG，

∴∠CGE=∠CEG，

∴∠FEG＞∠CGE，

∴FE≠FG；

②考慮FG=EG是否成立．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC∥EG，

∴△FBC∽△FEG．

假設FG=EG成立，則FC=BC成立，

∴FC=BC=100．

∵AE=x，GA=x+200，

∴FG=EG=AE+GA=2x+200，

∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100．

在Rt△CDG中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100，

∴1002+（x+100）2=（2x+100）2，

解得：x1=﹣100（不合題意，捨去），x2=；

③考慮EF=EG是否成立．

同理，假設EF=EG成立，則FB=BC成立，

∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100．

在Rt△ABE中，AE=x，AB=100，BE=2x+100，

∴1002+x2=（2x+100）2，

解得：x1=0（不合題意，捨去），x2=﹣（不合題意，捨去）．

綜上所述：當x=時，△EFG是一個等腰三角形．

【點評】本題考查了待定係數法求一次函數解析式、等腰三角形的判定與*質、相似三角形的判定與*質、正方形的*質以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）根據點的座標，利用待定係數法求出一次函數關係式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三種情況求出x的值．

知識點：各地中考

題型：綜合題